他为爱因斯坦做注脚 | 专访青年数学家杨诗武

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他为爱因斯坦做注脚 | 专访青年数学家杨诗武
麻省理工科技评论 2020-09-10

2020-09-10

“数学的广袤使得思路可以从无数方向出发,真正质变到来之前,你无法确定将经历多少场空欢喜”
科学家
“数学的广袤使得思路可以从无数方向出发,真正质变到来之前,你无法确定将经历多少场空欢喜”

2020 年 9 月 9 日,来自北京大学北京国际数学研究中心的青年数学家杨诗武助理教授获得青橙奖。该奖项由阿里达摩院设置、奖金 100 万元,奖励在相关领域取得初步成就、年龄在 35 岁及以下的青年科学家。

证明陶哲轩猜想:为研究同类问题提供新视角

在杨诗武所做的一系列重要工作中,距今最近的一项成果是与同在北京大学数学科学学院工作的韦东奕助理教授联合攻克华裔数学家陶哲轩的一个猜想,其研究论文《一维散焦半线性波动方程的渐近衰减》(Asymptotic decay for defocusing semilinear wave equations in R1+1)发表在论文预印本网站 arXiv 上。

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图 | 论文《一维散焦半线性波动方程的渐近衰减》(来源:arXiv)

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图 | 杨诗武(来源:北大官网)

杨诗武和韦东奕曾是北大校友,现在又成为北大同事。巧合的是,他们都还曾经是国际数学奥林匹克竞赛(IMO)金牌得主(分别为第 45 届和第 49 届)。

为攻破该猜想,杨诗武前后断断续续花费了十年时间。他告诉 DeepTech,如果想理解该猜想,至少要学到大学高数课程偏微分方程。

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图 | 论文涉及到的方程和结论(来源:受访者)

该猜想曾出现在陶哲轩的一篇论文中,主要涉及到一维非线性波方程解的性质,波方程可用于描述声波、水波、电磁波以及引力波等各类波的传播规律。实际科学问题中,大部分的波具备非线性特质,满足某种非线性方程,比如引力波满足爱因斯坦方程。

在时空中传播的波有个基本的特性,那就是衰减,比如声波,离声源越远,声音听起来越小;又比如手机信号(电磁波),离基站越远,信号越差;即使是宇宙中发生的大事件(比如黑洞或中子星合并)制造的超强引力波,在太空中经过数千万至数十亿光年的传播,也会变得极为微弱。

但另外还有一种波,叫做一维线性波,它在介质中传播的过称中是不衰减的。比如抖动一根长绳,理想状态下,无论绳子有多长,绳子的抖动都会从一端传到另外一端。

杨诗武所证明的猜想就与波的衰减有关。他们的研究表明,相互排斥 (散焦) 的一维波的传播过程不同于线性波,是会衰减的。之前陶哲轩的工作是证明这种衰减在平均意义下成立,杨诗武的工作则是用不同的方法得到了更强的结论,这篇文章证明了一维散焦半线性波方程的解会一致衰减到零。

如何形象地理解这一猜想?杨诗武以夜晚用手电筒照向天空为比喻说明这一问题:手电筒光线不平行,而是往外扩散;当距离足够远之后,光线会变得特别弱,同时衰减的速度也会变得更慢。他要做的事情,是从理论上证明光线会一直衰减下去,直到完全的黑暗无光。

杨诗武的这项工作为进一步理解这类波方程解的渐近行为提供了基础,同时其方法也为研究非线性波的长时间行为提供了新的视角。

谈及本次解决的陶哲轩猜想,杨诗武直言,这并不是他最有代表性的研究。

用纯数学的方式夯实广义相对论

杨诗武的主要研究方向,是双曲偏微分方程和广义相对论。纵观他发表过的论文,其第一个主要研究方向是非线性波动方程,他被引用最多的论文是《非均匀介质中非线性波动方程的整体解》(Global Solutions of Nonlinear Wave Equations in Time Dependent Inhomogeneous Media)。

关于该论文,杨诗武告诉 DeepTech,这个领域的经典结论是:三维时空中的非线性波动方程存在小初值整体解,这好比微风拂过水面时只会引起小的涟漪而不会瞬间掀起大浪。

但这个经典结果有一个前提条件,即要求时空中的引力场或者曲率依时间逐步趋于零,也就是时空(或者介质)是齐次的。再次以前述水波的变化打比方:微风吹拂时只产生涟漪而不会突然掀起大浪的前提条件是,水面不能受到河岸或湖岸的干扰。中国古代很早就观察到一种现象:以手摩擦一个盛水的青铜盆子(又名鱼洗)的外壁,盆子中的水面上有时会突然出现美丽的浪花或者喷射飞溅的水珠,这就是 “介质不齐次” 情形下水波出现共振、叠加而带来的结果。

杨诗武的这项工作则是把这个经典结论推广到一类非齐次介质中,也就是允许一块永远弯曲的区域(打破了介质齐次的前提)存在于其中。

这项工作的意义在于发展了常用来研究波方程的向量场方法,从而改进了很多现有的结果,包括上面讨论的高维散焦半线性方程的长时间行为;同时为解决其他类似问题提供了强有力的工具,被广泛应用于研究黑洞附近空间中波的传播,以及非线性波的长时间行为上。

他的第二个主要研究对象是广义相对论中的爱因斯坦方程,他给出了爱因斯坦测地线假设的一个完整数学证明;他还构造了爱因斯坦方程的一些特殊解,比如质量为无穷但不存在黑洞的时空,以及具有任意初始质量和任意最终质量(但小于初始质量)的包含黑洞的空间等等。

爱因斯坦测地线假设说的是:时空中不受外力作用的理想粒子(有质量但无大小)的运动轨迹是类时测地线。类时指的是粒子速度不超光速,测地线可以理解为最短路径。但现实世界中是不存在有质量无大小的理想粒子的,根据爱因斯坦的广义相对论,当粒子进入时空后,在引力场的作用下,粒子的位置会发生改变,而粒子本身有质量,会产生引力场,因而会改变整个空间的引力场。

引力场的改变进而会修正粒子的运动轨迹。所以一个基本的问题是爱因斯坦的测地线假设是否跟广义相对论相容,换句话说如果用真实的粒子去逼近理想粒子,那么真实粒子的运动轨迹是否会趋于类时测地线。

剑桥大学的大卫 · 斯图尔特(David Stuart)教授首先用某种非线性波方程的孤立子解(不依赖于时间的解)来模拟理想粒子,证明了爱因斯坦测地线假设短时间内成立,也就是在很短的时间内,粒子的运动轨迹是类时测地线,之后粒子的运动轨迹就没办法精确描述了。杨诗武的工作是将这个短时间结果推广到任意时间,证明到任意时刻粒子的运动轨迹都是类时测地线。

至于 “质量为无穷大但不存在黑洞的时空” 这一爱因斯坦方程的解,杨诗武给 DeepTech 做如此解释:已知的结果是质量必定会导致黑洞存在,杨诗武构造的解却给出了任意时刻质量都为无穷大、但却不存在黑洞的空间。“目前暂不清楚这对应于何种物理意义。”

“具有任意初始质量和任意最终质量(但小于初始质量)的包含黑洞的时空”,这个结论可以理解成时空初始质量和最终质量的比值可以是任意值,也就是这种时空的演化具有某种连续性。杨诗武表示,这跟霍金辐射没有关系,单纯是引力波损耗了时空中的质量。

 “让学生在国内就能学到最前沿的知识”

这个世界上,有人走到中年才发现自己的兴趣所在,有人从小学开始,就已基本定下一生走向。杨诗武是后者。他从小就参加竞赛,毕业后也在做数学研究,属于典型的 “一心一意型” 的数学家。

他的学术经历看起来一帆风顺,2008 年从北大本科毕业后,赴美国普林斯顿大学留学,师从专门研究双曲偏微分方程和广义相对论的乌克兰裔数学家伊戈尔 · 罗德尼亚斯基(Igor Rodnianski)。从普林斯顿大学博士毕业后,杨诗武去剑桥大学做博士后,合作导师是米哈利斯 · 达菲莫斯(Mihalis Dafermos),后者以研究数学中的广义相对论著称。

当年出国读书时,年轻气盛的他在申请材料的个人陈述中曾这样写道:“不管在国外学没学成,都希望把我所学东西带回来,让中国学生往后不用费很大力气出去留学。”

2016 年,阔别故土 8 年后,杨诗武回到母校北京大学,任北京国际数学研究中心助理教授。学成后的杨诗武对留学的看法有所改变:“即使我们国家数学研究走到很前沿,年轻人也需要多出去和别人交流。”但他的初心 “让学生在国内就能学到先进知识” 并未改变。

杨诗武着意于人才的培养与传承;他还认为,当一个老师,能迫使自己时刻紧跟前沿,从而把最好、最新的知识教给学生。

普林斯顿大学的伊戈尔教授给他的影响最是深刻。记得读书时,杨诗武要做讨论班报告,伊戈尔让他把演讲稿写好,并让他在跟前排练。后来写论文时,伊戈尔一句一句帮他改,这是他读大学以来从未见过的。

现在自己当了老师,杨诗武也用同样的方式来教导学生。有学生曾这样撰文评价杨诗武的课程《实变函数》:“杨老师从上课到作业到考试都表现出他的确是一个认真负责的好老师。每次下课休息一定要休息满十分钟…… 此外很值得一提的就是杨老师的作业——自己留题,平均每次至少 8 道的样子。他的考试也比较硬核,而且和上课内容的关联比较紧密,因此靠自学不能完全应付…… 也许这就是‘硬课’的价值所在吧。”

在科研习惯上,杨诗武无论是出去散步、还是在家发呆,都会思考数学问题。有时想到一个问题,就想找到一张纸赶紧算一下。

1957 年,凭借 “弱相互作用中宇称不守恒理论” 获得诺奖的杨振宁,在听说该理论被实验证实时,感慨称:“看见了宇宙一个很深奥的秘密”“仿佛看到了凡人不该看到的东西”。

数学的深处同样隐藏着宇宙的奥秘。杨诗武说:“数学的广袤使得思路可以从无数方向出发,真正质变到来之前,你无法确定将经历多少场空欢喜…… 我和导师、同门也不知道这一生能推演到哪一步。但这不是一个人的事情,一拨一拨人不断推进,这本身就很美,不是吗?”

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